Archive vom Dezember, 2006

Die Woche ist schon wieder um — wie schnell das doch manchmal geht. Neben diversen Präsenten habe ich auch einen schönen Schnupfen mitgebracht. Mal sehen, ob ich den irgendwo unauffällig entsorgen kann.

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Ich melde mich jetzt ab.
Schöne Feiertage euch allen.

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Parforce ist im Weihnachtsterror.
Nadine stürzt sich in's Getümmel.
Aci hat das schlimmste schon hinter sich.
Saoirse ißt Reste.
Cassiopeia hat eine Leseliste.
Kathleen läßt es ruhig angehen.

Ich habe die Geschenke verpackt, viel Tee getrunken und ein bißchen gelesen; morgen will dann noch das gewöhnliche Gepäck verstaut werden, bevor es mittags in die alte Heimat geht.

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…das war vor einiger Zeit recht beliebt bei den Suchanfragen, die hierher führen. Im Moment steht 1000 als summe aufeinanderfolgender zahlen hoch im Kurs.

Also gut: einmal Schummeln für unfähige Anfänger. Ihr dürft jetzt alle hier abschreiben und Euch dann wundern, wenn Ihr die nächste Klausur verhaut.

Summa cum

Wir wollen also schreiben können k+(k+1)+…+l = 1000.
Vom ollen Gauß wissen wir ja, daß die Summe der Zahlen von 1 bis n gegeben ist als n(n+1)/2. Wie sieht das also aus, wenn wir von k+1 bis l summieren? Ganz einfach: wir rechnen erstmal von Eins bis l, ziehen dann aber die zu kleinen Zahlen wieder ab. Also:

1000 = l(l+1)/2 - k(k+1)/2.

Anders formuliert könnten wir auch l=k+n setzen und sagen, daß wir n aufeinanderfolgende Zahlen ab k +1 summieren wollen. Dann haben wir:

1000 = (k+n)·(k+n+1)/2 - k(k+1)/2

Multiplizieren wir das ganze mit 2 und vereinfachen ein bißchen, dann haben wir diese schöne Formel:

2000 = n(2k+n+1)

Gerade oder ungerade, das ist hier die Frage

Das bedeutet: um 1000 als Summe aufeinanderfolgender Zahlen schreiben zu können, müssen wir 2000 als Produkt zweier Zahlen, nämlich n und 2k+n+1schreiben. Dabei kann n gerade oder ungerade sein; da 2k+1 aber immer ungerade ist, wird 2k+n+1 genau dann gerade sein, wenn n ungerade ist.
Jetzt zerlegen wir 2000 in seine Primfaktoren und überlegen, auf wie viele Arten wir daraus einen geraden und einen ungeraden Faktor basteln können. 2000=24·53; die Faktoren 2 müssen immer zusammen vorkommen, sonst wären ja beide Teile gerade, die anderen können wir verteilen:

2000 = 16·125 = 80·25 = 400·5 = 2000·1

Das war's auch schon, mehr als diese Varianten gibt es nicht. Jetzt müssen wir nur noch feststellen, ob jedem Produkt auch eine Darstellung der Zahl 1000 entspricht, und wie diese jeweils aussieht.

Aufgezählt

Die Zahl der Summanden, die in der Formel mit n angegeben ist, kann also höchstens die Werte 1, 5, 16, 25, 80, 125, 400, 2000 annehmen. Die probieren wir jetzt der Reihe nach durch:
Ist n=1, dann folgt 2k+n+1=2000, also k=999. Das ist das, was die Mathematiker gerne als triviale Lösung bezeichnen: eine Möglichkeit, 1000 als Summe aufeinanderfolgender Zahlen zu schreiben, ist die einzige Zahl 1000 — eine Folge aus einer Zahl.

n=5 ist schon interessanter: 2k+n+1=400, also k=197, das heißt die Summe hat fünf Glieder und startet oberhalb von 197: 1000=198+199+200+201+202.

n=16 liefert 2k+n+1=125, also k=54. Damit ist 1000 = 55+56+…+69+70.

Aus n=25 folgt 2k+n+1=80 und k=27: 1000 = 28+29+…+52.

Dann haben wir noch n=80, also 2k+n+1=125, k=22: 1000 = 23+24+…+102.

Bei n=125 ist dann Schluß: dann wäre 2k+n+1=80, und diese Gleichung läßt sich durch kein positives k mehr erfüllen.

Zum Schluß

Auf eine Sache sollte ich noch eingehen: warum dürfen wir hier eigentlich ganz munter räsonieren und Teiler aufschreiben, nur um hinterher zu sagen: ätsch, 125 (und die größeren) waren nur ein Scherz? Wäre es nicht genauso möglich, daß unsere Methode nicht nur blinde Passagiere wie die 125 ausspuckt, sondern auch richtige Lösungen (meinetwegen n=17) verschluckt?

Nein, das geht zum Glück nicht: mathematische Argumente sind, wenn sie sauber verwendet werden, exakt. Daß wir trotzdem zunächst einige Zahlen bekommen haben, die wir dann doch wieder verwerfen mußten, liegt an dem Unterschied zwischen einer Folgerung und einer Äquivalenz: Wenn 1000 sich als die Summe der Zahlen k+1 bis k+n schreiben läßt, dann gelten die oben gemachten Überlegungen, und dann muß schließlich n ein Teiler von 2000 sein. Das heißt aber nicht, daß sich umgekehrt auch jede Zahl n, die Teiler von 2000 ist, automatisch in eine solche Summe verwandeln läßt. Dazu muß noch mehr gelten, n darf nämlich nicht nur irgendein Teiler von 2000 sein, sondern muß gerade komplementär zu 2k+n+1 sein. Wenn das nicht erfüllbar ist (z.B. für n=125), dann fallen die restlichen Überlegungen flach.

So, jetzt ist aber genug geschummelt.

[Edit: diverse Typos]

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Holgi fährt Zug. Ich auch. bei mir sind es zwar eher 400 km im Monat, aber auch die sind zuviel, als daß ich sie unfreiwillig im Qualme verbringen möchte.

Ein Witz der ganz besonderen Art sind ja diese zweigeteilten ICE-Wagen: eine Hälfte Raucher, eine Hälfte Nichtraucher. Dazwischen gibt es eine Trennwand mit einer klapprigen Schiebetür, die schon im geschlossenen Zustand alles andere als dicht ist. Wenn jemand sie benutzen will, öffnet und schließt sie sich aufreizend langsam. Wenn sie defekt ist oder der Zug gerade eine ungünstige Kurve fährt, schließt sie sich auch schonmal gar nicht.

Diese Tür scheint mit dem Online-Reservierungssystem der Bahn unter einer Decke zu stecken: ich bekomme nämlich grundsätzlich einen Platz direkt neben dieser Tür zugewiesen.

Ganz nett zu lesen ist übrigens noch das hier.

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Ich habe gerade noch ein kleines bißchen am Code gebastelt. Jetzt kann man den Text, den man kommentiert, sogar lesen.

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Wie Mittwinter sieht es draußen wirklich nicht aus, obwohl es gelegentlich immerhin auf vier Grad abkühlt. Trotzdem sind die Tage jetzt so kurz wie nie. Interessanterweise haben wir den spätesten Morgen aber schon hinter uns, während der kürzeste Abend noch eine gute Woche auf sich warten läßt.

Kukkula

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Eigentlich wollte ich jetzt hier was schreiben.
Eigentlich bin ich aber ziemlich ratlos. Viele komische Dinge passieren. Nix wirklich blogbar.
Eigentlich sollte ich lieber in's Bett gehen.

Gute Nacht.

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Gerade bin ich von der Firmen-Weihnachtsfeier zurückgekommen. Ich glaube, morgen stehe ich nicht um acht auf der Matte.

Metsässä

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Puu ja tähtiä

Am dritten Januar ist Vollmond, da könnte man also zu Silvester wieder Aufnahmen machen.

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