Ich bin in den letzten Wochen ein wenig in die axiomatische Mengenlehre gerutscht. Das meiste ist ziemlich einfach und einleuchtend. Auch bei 
habe ich nicht zweimal hingesehen.
Bei 
allerdings schon.
Stimmt aber. Sauber aus den Axiomen hergeleitet und konsistent.
[lang_de]Heute gibt es mal wieder ein neues Eckchen (das untere rechte nämlich) in der Reihe des Mandelbulb-Mosaiks. Inzwischen sind die wesentlichen Teile beisammen, und man könnte sich langsam Gedanken über den nächsten Schritt machen, etwa näher heranzugehen. Eine noch höhere Ordnung ist ohne Software-Optimierung wohl nicht sinnvoll.[/lang_de][lang_en]Today, another piece of the Mandelbulb Puzzle fell into place (actually, the lower right corner). The mosaic series will continue for a while, but most important parts are there by now. One could start thinking about the next step, say zooming in. However, a higher order is hardly possible without software optimization.[/lang_en]
[lang_de]Diesmal hat es wieder ein bißchen länger gedauert, deshalb gibt es auch ein größeres Stück: die rechte obere Ecke ist fertig — jedenfalls so weit das Fraktal reich; den Hintergrund reiche ich irgendwann noch nach.[/lang_de][lang_en]The latest addition has taken quite some time, but it is also a larger piece of the image: the upper right corner is complete. (Of the fractal, that is; I will supply the remaining background at a later date.)[/lang_en]
[lang_de]Los ging’s übrigens hier, und die ganze Serie findet man per Tag.[/lang_de]
[lang_en]You can find the entire series by tag. Its beginning is here.[/lang_en]
[lang_de]Heute ist das Puzzle ein kleines Stückchen weiter.[/lang_de]
[lang_en]Today, the jigsaw puzzle has grown a little bit.[/lang_en]
[lang_de]Vor einiger Zeit hatte ich angekündigt, für ein neues Bild der Mandelbulb eine weitere Iterationsstufe zu berechnen. Leider hat sich PoV-Ray dabei als noch langsamer als befürchtet erwiesen. Damit ich nicht völlig allein meinem Rechner beim Rechnen zusehen muß, gibt es hier eine Vorschau mit drei Iterationsschritten — nach gut einer Woche kann man schonmal ein bißchen sehen, wie das aussehen wird, wenn es fertig ist. Damit das Bild richtig wirkt, sollte man es sich in groß ansehen.[/lang_de][lang_en]Some time ago, I announced my intentions to calculate a new picture of Mandelbulb with one more iteration step. Unfortunately, PoV-Ray proved to be even slower than I feared. Watching my computer computing on my own is not much fun, so I show you a preview with three iteration steps — after more than a week, one can get an impression of what it will look like once it is finished. Try watching the large picture to see full details.[/lang_en]
[lang_de]Zugegeben, ein paar Schritte mehr könnten nicht schaden, die Details auf den Bildern von Daniel White sind (bei zehn Schritten) viel feiner.[/lang_de][lang_en]Admittedly, a few more iteration steps would be nice: the detailed structure seen on Daniel White’s images is much better (he seems to use ten steps).[/lang_en]
[lang_de]Neulich hatte ich mehr zu Mandelbulb, einem dreidimensionalen Fraktal aus der Verwandtschaft des Apfelmännchens versprochen. Jetzt ist — nach mehreren Tagen Rechenzeit auf einer Zweiprozessormaschine — endlich der erste Film fertig.
Doch zunächst möchte ich etwas über Folgen erzählen. Folgen sind, nun ja: einfach Aneinanderreihungen von Zahlen; dabei soll das Aneinanderreihen natürlich gewissen Regeln folgen.
Versuchen wir zum Beispiel, eine Zahl immer wieder zu quadrieren: 2, 4, 16, 256, 32768, … — dann bekommen wir ziemlich schnell ziemlich große Zahlen. Das muß aber nicht so sein — fangen wir doch einfach mit einer kleineren Zahl an, zum Beispiel so: 1, 1, 1, … — zugegeben, das ist etwas langweilig: 12=1, da ist wenig Abwechslung. Vielleicht besser so: 0.1, 0.01, 0.0001, … — jetzt wird die Folge sogar immer kleiner. Also: wenn wir auf diese Weise eine Zahl kleiner als Eins fortlaufen quadrieren, so werden die Zahlen immer kleiner; Zahlen größer als Eins werden immer größer, und die Eins selbst bleibt gleich. Daran ändert sich übrigens nicht viel, wenn wir auch negative Anfangswerte zulassen — das Minuszeichen fällt im ersten Schritt weg, und dann geht es weiter wie bekannt. Wenn wir uns also den Zahlenstrahl aus der Schule aufmalen, dann könnte das etwa so aussehen:[/lang_de]
[lang_en]A few days ago, I promised to write more about Mandelbulb, a three-dimensional fractal related to the Mandelbrot set. It has taken several days on a two-processor machine, but now the first movie is finally ready.
However, I would like to tell you a bit about sequences first. Sequences are, well, just numbers following one another; exactly what numbers make up the sequence is determined by certain rules.
Let us try to square numbers: 2, 4, 16, 256, 32768, … — these numbers will grow very quickly. We might try to start with a smaller number instead: 1, 1, 1, … — I will admit this to be a rather boring sequence: 12=1, so there is little change. Maybe we could try this: 0.1, 0.01, 0.0001, … — now the numbers are actually shrinking. So: if we keep on squaring a number less than one in this way, it will shrink to nothing; numbers larger than one are growing, and one itself remains unchanged. By the way, trying negative number will not change this pattern — the number will become positive during the first step, and the sequence proceeds as before. If we draw the number line, it might look a bit like this:[/lang_en]
[lang_de]Alles, was zwischen -1 und +1 liegt, bleibt endlich; alle anderen Zahlen werden durch das Quadrieren immer größer. Wir könnten jetzt unsere Rechenvorschrift (das Quadrieren) komplizierter machen, aber lustige Bilder werden wir auf diese Weise nicht erhalten: der Zahlenstrahl ist ja nur eine einzige Linie, was kann man daraus schon groß machen? Schöner wäre es, wenn wir eine Fläche hätten, etwa so:[/lang_de]
[lang_en]Everything between -1 and +1 remains finite. All other numbers will grow ever larger when squared. We could try to make our formula (i.e. keep on squaring) more complicated, but we would not get funny pictures, anyway: the number line is, well, just a single line — what can we make of it? Having an area to draw on would be much nicer:[/lang_en]
[lang_de]Nur: wie verteilen wir unsere Zahlen darauf? Das ist in der Mathematik zum Glück kein Problem: wir denken uns einfach neue Zahlen aus, so daß wir nicht nur links von der Eins die Null und rechts die Zwei haben, sondern auch über und unter der Eins noch Zahlen hinschreiben können. Jetzt müssen wir nur noch überlegen, wie wir diese Zahlen quadrieren können, und das machen wir so:[/lang_de]
[lang_en]How shall we assign numbers to different spots on this plane? Luckily, this is no problem in mathematics: we simply invent new numbers. We shall do this in such a way that in addition to zero left of one and to to the right, we will have additional number above and below. Now we have to think of a way to square such numbers:[/lang_en]
[lang_de]Wir denken unz zu jeder Zahl eine Art Uhrzeiger. Wenn wir die Zahl quadrieren wollen, dann quadrieren wir zuerst einfach seine Länge. Außerdem drehen wir den Zeiger ein Stück weiter: aus ein Uhr wird zwei Uhr, aus drei Uhr wird sechs Uhr, und aus vier Uhr wird acht Uhr. Bevor jetzt jemand fragt: bei den Mathematikern gehen die Uhren linksherum; und in diesem speziellen Fall fängt man auch gerne rechts statt oben an mit null Uhr.
Diese Definition mag ein bißchen seltsam wirken, aber sie hat einen großen Vorteil: wenn wir uns Zahlen auf dem guten alten Zahlenstrahl ansehen, dann liegen die ja auf null Uhr (die positiven) oder auf sechs Uhr (die negativen); und wenn wir die jetzt nach der neuen Regel quadrieren, dann drehen wir die positiven gar nicht (sie stehen ja, wie gesagt, auf null Uhr), und die negativen von sechs auf zwölf Uhr — oder eben wieder null. Also: nach dem Quadrieren landen alle Zahlen vom Zahlenstrahl wieder auf der positiven Hälfte des Strahls, und weil wir ja die Zeigerlängen außerdem quadrieren, erhalten wir das selbe Ergebnis wie bei der Rechnung nach Schulregeln.[/lang_de]
[lang_en]We imagine a clock’s hand pointing to each number. When trying to square such a number, we will first square its length. Then, we shall turn its hand a bit: one o’clock gets two o’clock, three o’clock becomes six o’clock, and four o’clock becomes eight o’clock. And, just in case you are wondering: mathematicians‘ clocks turn the wrong way — and in this case, twelve o’clock (zero) is to the right, not on top.
This definition might look a tad strange, but it has a distinct advantage: all those ordinary numbers on the number line are at twelve o’clock (the positive ones), or six o’clock (the negative ones). When squaring them according to our new rule, the positive numbers will remain positive numbers, and the negative ones will be turned from six to twelve o’clock. That is, when squaring a number from the number line, we obtain a number from the positive half of the number line. Since we are squaring each hand’s length, the result is just the same as when following the ordinary rules from school.[/lang_en]
[lang_de]Jetzt gehen wir nochmals zu den Folgen zurück und quadrieren munter drauflos. Das Ergebnis ist recht einleuchtend: unsere Zeigerzahlen drehen sich wild im Kreis, aber alle Zeiger länger als Eins wachsen ins unermeßliche, während die kürzeren ins Nichts schrumpfen.
Damit haben wir immerhin ein kleines Bild, wenn auch kein besonders aufregendes: einen Kreis mit dem Radius eins nämlich, der alle die Zahlen bezeichnet, die beim Quadrieren immer weiter schrumpfen.
Es mag einleuchten, daß man mit einer komplizierteren Rechenvorschrift auch komplexere Bilder erzeugen kann. Wer jetzt aber glaubt, daß man eine die Regel sehr viel komplizierter machen muß, der hat sich getäuscht: wie wäre es zum Beispiel, wenn wir unsere Zahl immer abwechselnd quadrieren und addieren? Das ginge dann so: 12=1, 1+1=2, 22=4, 4+1=5, 52=25; also: 1, 2, 4, 5, 25, … und die Zahlen werden immer größer. Bei den negativen gibt es aber eine kleine Überraschung: -22=4, 4+(-2)=2, 22=4, 4+(-2)=2… hier kommen wir über die Zwei nicht hinaus! Wir werden also, wenn wir wieder alle konvergenten Folgen (also die, die endlich bleiben) schwarz anmalen, keinen Kreis erhalten: die +1 müßte ja weiß bleiben, die -2 hingegen wäre schwarz. Ein Oval vielleicht? Es ist auf Anhieb nicht klar, was mit unseren Uhrenzahlen[1] passieren würde, und so hilft es nur, den Computer zuhilfe zu nehmen und das Bild auszurechnen — und dann passiert das:[/lang_de]
[lang_en]Going back to sequences, we square away. The result is a bunch of hands rotating madly — but all hands longer than on grow indefinitely, while the shorter ones shrink away to nothing.
This lets us draw at least a little picture, if not a very interesting one: a disc with radius one noting all numbers shrinking when they are squared.
It seems obvious that a more complex formula can create more complex pictures. However, if you think the formula has to be much more complex, you are mistaken: try to square and add the number alternately, like this: 12=1, 1+1=2, 22=4, 4+1=5, 52=25; thus: 1, 2, 4, 5, 25, … and the numbers are getting ever larger. Starting with a negative number, we encounter a small surprise: -22=4, 4+(-2)=2, 22=4, 4+(-2)=2… we are getting an infinite sequence of the number two! Therefore, when painting every converging sequence black (i.e. every sequence remaining finite), we will not get a circle: +1 would remain white, but -2 would become black. Maybe an ellipse? It is hard to tell intuitively what our clock-hand numbers[1] do, so we have to use a computer to calculate the picture. This is the result:[/lang_en]
[lang_de]Ich finde es überraschend und sehr erstaunlich, daß aus einer so einfachen Formel ein so komplexes Gebilde entsteht, und gerade diese Einfachheit macht für mich einen Großteil der Schönheit des Apfelmännchens aus: bekommt man doch soviel mehr heraus, als man hineingesteckt hat.[/lang_de]
[lang_en]It is surprising and quite wonderful that such a simple formula creates such a complex image; and this simplicity is, to a large extent, the beauty of the Mandelbrot set: one gets so much more than one has put in.[/lang_en]
[lang_de]Zu guter Letzt möchte ich noch meinen Film von der dreidimensionalen Variante zeigen. Wie man hier rechnet, erkläre ich aber erst im nächsten Blogeintrag. Wenn das Fraktal hier recht glatt erscheint (während doch das zweidimensionale Apfelmännchen arg pieksig wirkt), so liegt das nicht in der Natur der Sache; vielmehr habe ich, um überhaupt in sinnvoller Zeit zu einem Ergebnis zu kommen, nur die ersten zwei Schritte der Folgen berechnet. Um ein realistischeres Bild zu erhalten, hätte ich zehn Schritte rechnen müssen. Und an der pixeligen Struktur arbeite ich auch noch…
[1]Der aufmerksame Leser mag bemerken, daß wir oben zwar das Quadrieren, nicht aber die Addition der Uhrenzahlen definiert haben. Letztere ist aber recht einfach: um zwei Zeiger zu addieren, verschieben wir einen von ihnen so, daß sein Fußpunkt an der Spitze des anderen zu liegen kommt; seine Richtung soll er dabei nicht verändern. Die Summe der beiden ist dann ein neuer Zeiger, der vom Fußpunkt des unverschobenen zur Spitze des verschobenen Zeigers geht. Wer mit dem Konzept der Vektorrechnung vertraut ist, wird hier die Vektoraddition erkennen[2].
[2]Und wer mit dem Konzept der komplexen Zahlen vertraut ist, wird diese in unseren Uhrenzahlen erkennen.[/lang_de]
[lang_en]Finally, I would like to show my movie of the three-dimensional variant. An explanation of the corresponding formula will have to wait until next time. The fractal looks pretty smooth here, whereas the two-dimensional Mandelbrot set is quite hairy. This is not a property of the Mandelbulb, but of my alculations: in order to get a result in no more than a few days, I have calculated only the first two steps of the sequence. To get a more realistic picture, I would have had to use ten or so. Moreover, I will do something about the rough, pixelled structure.
[1]Those of you who have paid very close attention might notice that while we have defined how to square a clock-hand number, we have neglected to define the summation. However, doing so is quite simple: to add to hands, we shift one of them so that its base coincides with the tip of the other hand. During that shift, neither hand must change the direction in which it points. The sum is then defined as a new hand that points from the base of the first to the tip of the second hand. This will look familiar if you know vectors[2].
[2]Moreover, the clock-hand numbers will look quite familiar to those who know complex numbers.[/lang_en]
[lang_de]Anfang dieser Woche erschien auf Slashdot die Nachricht, daß ein dreidimensionales Äquivalent zur Mandelbrot-Menge, auch bekannt als Apfelmännchen, gefunden wurde. Ein Blick auf die Seite von Daniel White offenbarte nicht nur eine Erklärung, sondern auch atemberaubende Bilder — und in mir erwachte sogleich der Wunsch, mich selbst daran zu versuchen.
Die Klasse der Objekte, zu der das Apfelmännchen genauso wie der neue Mandelbulb gehören, nennt man Fraktale. Was bedeutet das eigentlich? Nun, in der Mathematik versteht man unter einem Fraktal ein Gebilde, dessen Dimension keine ganze Zahl ist. Es ist zunächst schwer vorstellbar, was das bedeuten soll: entweder habe ich etwas eindimensionales, etwa eine Linie; oder ein Blatt Papier, das (wenn wir seine Dicke einmal ignorieren) zweidimensional ist; oder aber zum Beispiel einen Würfel. Der hat drei Dimensionen — aber zweieinhalb?
Wenn wir uns die Dimension eines Vektorraumes ansehen, ist das in der Tat nicht möglich: vereinfacht gesagt, zählt man schlicht die (voneinander unabhängigen) Richtungen, die es in einem Objekt gibt, und nennt diese die Dimension: wenn es nur Länge gibt (zum Beispiel bei einem Bindfaden), dann ist die Dimension Eins. Das Wohnzimmer hat Länge, Breite und Höhe, also die Dimension Drei.
Ich kann aber auch anders vorgehen: dazu nehme ich mir einen Ball, der groß genug ist, um den Bindfaden darunter zu verstecken. Ist der Faden z.B. einen Meter lang, dann brauche ich einen Ball, der einen Meter Durchmesser hat. Nun probiere ich es mit einem Ball von einem halben Meter — und stelle fest, daß ich zwei davon brauche, um den Faden abzudecken. Hat mein Ball nur 10 cm Durchmesser (ein Zehntel des ursprünglichen), dann brauche ich auch zehn Bälle, und so weiter.[/lang_de]
[lang_en]Earlier this week, Slashdot published the news that a three-dimensional equivalent of the Mandelbrot set has been found. Visiting Daniel White’s page, not only did I find an explanation, but also unprecedented images — and I knew immediately that I would like to create such images myself.
The class of objects to which the Mandelbrot and the new Mandelbulb belong is called fractals. What are fractals, anyway? Well, a fractals in an object with a dimension that is not an integer. At first glance, it is not quite clear what this means: an object is either one-dimensional, such as a line; or a sheet of paper, which has two dimensions (ignoring its thickness); or, for example, a cube with three dimensions. But two and a half?
If we look at the dimension of a vector space, this is, indeed, impossible: there, one would simply count the (independent) directions that are to be found in a given object, and name there number the object’s dimension: if there is just length (such as on a piece of string), the dimension is one. The living room has length, width, and height, thus it is three-dimensional.
But there is a different way: let us take a ball that is large enough to hide the piece of string. For a one-meter string, we would need a ball one meter in diameter. Then, try with a ball half that size: we would need two to cover the string. If we tried with ten-centimeter balls, we would need ten of them, and so on.[/lang_en]
[lang_de]In meinem Wohnzimmer geht das nicht: während ich das komplette Zimmer in einen Ball mit fünf Metern Durchmesser stecken könnte, benötige ich wesentlich mehr als fünf Bälle, wenn diese nur einen Meter Durchmesser haben, nämlich mehr als hundert. Die Dimension eines Objekts sagt mir also, wie schnell die Zahl der nötigen Bälle wächst, wenn ich die Bälle selbst kleiner mache. Bei einem eindimensionalen Gegenstand reichen 2 Bälle der Größe 1/2, bei einem dreidimensionalen brauche ich 8, das sind 23.
Jetzt drehen wir den Spieß um und erheben diese Ballzählerei zur Definition: das Schachbrett ist deshalb zweidimensional, weil ich 64=82 Felder der Größe 1/8 brauche, um es abzudecken.
Wie muß nun ein Objekt aussehen, damit ich bei dieser Rechnung krumme Zahlen erhalte? Dazu wollen wir ein kleines Experiment machen. Dazu benötigen wir nur ein Blatt Papier, einen Bleistift, ein Radiergummi, und vielleicht noch ein Lineal. Zunächst zeichnen wir eine gerade Linie auf das Blatt, etwa so:[/lang_de][lang_en]That does not work for my living-room, however: I could put the whole room into a large ball of, say, five meters; but I would need many more than just five balls of one meter each — more than a hundred, in fact. That is, the dimension of an object tells us how quickly the number of balls grows when the balls themselves shrink. For a one-dimensional object, 2 balls of size 1/2 are sufficient, for something three-dimensional, we would need 8, or 23.
Now, let us turn around and use this counting as a definition: a chessboard is two-dimensional precisely because we need 64=82 squares of size 1/8 to cover it.
What would an object need to look like to make a fractional number drop out of this computation? Let us make a little experiment. You only need a sheet of paper, a pencil, an eraser, and maybe a ruler (I did without). First, draw a straight line, like this:[/lang_en]
[lang_de]Nun nehmen wir das Radiergummi und entfernen das mittlere Drittel der Linie:[/lang_de][lang_en]Then, take the eraser to remove the middle third of the line:[/lang_en]
[lang_de]Von den beiden kürzeren Linien, die nun übrig bleiben, entfernen wir jeweils wieder das mittlere Drittel:[/lang_de][lang_en]Erase the middle third of the two remaining lines as well:[/lang_en]
[lang_de]Und so weiter — im Prinzip geht das beliebig lange, wenn nur unser Radiergummi fein genug ist:[/lang_de][lang_en]And so on — in principle, you can continue indefinitely. That is, as long as your eraser is fine enough.[/lang_en]
[lang_de]Was passiert, wenn wir dieses Gebilde mit Bällen zudecken wollen? Nun, fangen wir mit einem Ball an, der gerade groß genug ist, um alle Teilstücke der Linie zu überdecken. Wenn wir diesen Ball dritteln, dann brauchen wir aber mitnichten drei der kleineren Bälle — es genügen zweie, einer für die linke Seite, einer für die rechte. In der Mitte haben wir ja alles wegradiert. Wenn wir also einen Ball der Größe 1/3 wählen, brauchen wir 2=30.63 Exemplare davon. Deshalb können wir sagen, daß unser Kunstwerk die Dimension 0.63 hat. Genauer betrachtet, ist das auch gar nicht so abwegig: wir haben da eine Unmenge von Punkten, die sehr dicht beieinander liegen. Einzelne Punkte hätten die Dimension 0; und wenn sie unendlich dicht beieinander lägen, hätten wir eine Linie mit der Dimension 1. Daß unser Ergebnis irgendwo dazwischen liegt, ist nicht so verwunderlich.
Ganz ähnlich verhält es sich auch beim Apfelmännchen: egal, wie stark ich Ausschnitte davon vergrößere, es gibt immer feinere Strukturen zu entdecken. Das trifft im Prinzip auch auf die oben abgebildete Mandelbulb zu; allerdings ist die Abbildung mit einer sehr vereinfachten Formel erstellt worden, weshalb nur die gröbsten Knubbel zu erkennen sind — ganz so, als ob ich beim Zerteilen der Linie nach zweimaligem Radieren aufhöre.
In den kommenden Tagen möchte ich noch kurz anreißen, wie man das Apfelmännchen und die Mandelbulb berechnet; außerdem gibt es dann hoffentlich mehr Bilder und vielleicht sogar Filme zu sehen.[/lang_de]
[lang_en]What happens if you try to cover your creation with balls? Start with one that is large enough to cover all those little dashes. If you then try balls a third of its size, you do not need three of them — instead, two are sufficient: one for the left side, one for the right. You have removed everything in the middle with your eraser, after all. Using balls of diameter 1/3, only 2=30.63 of them are enough to cover the drawing. So you could say your little piece of art has a dimension of 0.63. This is not as weird as it may look at first glance: There is an enormous number of dots, most of which are very close together. Isolated dots would have a dimension of 0; and dots that are infinitely close together form a line of dimension 1. Our result is somewhere inbetween, which should hardly come as a surprise.
The Mandelbrot set is similar: regardless of how far we magnify parts of it, there are ever finer structures appearing.In principle, this is true for the Mandelbulb above; however, the picture has been rendered with simplified equation, so only the largest knobs are visible: it is like throwing away the erasor after the first two steps.
During the next few days, I would like to show how to calculate the Mandelbrot set, and the new Mandelbulb. Hopefully, there will also be more pictures, and perhaps a movie or two.[/lang_en]
[Edit: Typos]
Zum Tagesabschluß habe ich noch etwas heiteres, nämlich eine Suchanfrage: warum muss man bei primzahlen die vielfachen fon 11 nicht streichen?, will ein unbekannter Besucher wissen.
Da kann ich nur sagen: die Frage ist falsch gestellt. Wenn man mit dem Sieb des Eratosthenes Primzahlen bestimmen will, sind die Vielfacher von elf durchaus zu streichen — genauso wie die aller anderen Primzahlen. Sind allerdings nur die Primzahlen bis N=100 gefragt, kann man nach der sieben aufhören: es genügt immer, bis zur Wurzel von N (hier also 10) zu prüfen.
Das sieht man so: angenommen, es gibt einen Teiler von n≤N (nennen wir ihn a), mit a>√N. Dann ist aber auch b = n/a ≤ N/a < N/√N = √N, also b<√N, Teiler von n; und so erkennen wir auch dann, daß n nicht prim ist, wenn wir nur bis √N prüfen.
Gute Nacht.
[lang_de]Heute habe ich ein kleines mathematisches Spielzeug — nicht sehr nützlich, aber witzig gemacht.
Eigentlich wollte ich hier noch ein paar schicke Bilder machen, um ein graphisches Multiplikationsverfahren zu illustrieren — aber da ist mir schon jemand zuvorgekommen und hat das ganze bei Youtube hochgeladen und es damit letzten Monat sogar zu Ehrensenf geschafft.
Deswegen spare ich mir die Zeichnerei und merke nur noch an, daß die Methode letztlich der schriftlichen Multiplikation entspricht.[/lang_de]
[lang_en]Today, I would like to present a funny — if somewhat useless — mathematical toy.
Originally, I wanted to create some sleak pictures to illustrate a graphic method for multiplying decimal numbers — but someone has been faster than me, posting a video at Youtube.
Therefore, I leave my pencil alone. I shall merely add that this method works in exactly the same way as the usual pencil-and-paper way does.[/lang_en]
