…das war vor einiger Zeit recht beliebt bei den Suchanfragen, die hierher führen. Im Moment steht 1000 als summe aufeinanderfolgender zahlen hoch im Kurs.

Also gut: einmal Schummeln für unfähige Anfänger. Ihr dürft jetzt alle hier abschreiben und Euch dann wundern, wenn Ihr die nächste Klausur verhaut.

Summa cum

Wir wollen also schreiben können k+(k+1)+…+l = 1000.
Vom ollen Gauß wissen wir ja, daß die Summe der Zahlen von 1 bis n gegeben ist als n(n+1)/2. Wie sieht das also aus, wenn wir von k+1 bis l summieren? Ganz einfach: wir rechnen erstmal von Eins bis l, ziehen dann aber die zu kleinen Zahlen wieder ab. Also:

1000 = l(l+1)/2 - k(k+1)/2.

Anders formuliert könnten wir auch l=k+n setzen und sagen, daß wir n aufeinanderfolgende Zahlen ab k +1 summieren wollen. Dann haben wir:

1000 = (k+n)·(k+n+1)/2 - k(k+1)/2

Multiplizieren wir das ganze mit 2 und vereinfachen ein bißchen, dann haben wir diese schöne Formel:

2000 = n(2k+n+1)

Gerade oder ungerade, das ist hier die Frage

Das bedeutet: um 1000 als Summe aufeinanderfolgender Zahlen schreiben zu können, müssen wir 2000 als Produkt zweier Zahlen, nämlich n und 2k+n+1schreiben. Dabei kann n gerade oder ungerade sein; da 2k+1 aber immer ungerade ist, wird 2k+n+1 genau dann gerade sein, wenn n ungerade ist.
Jetzt zerlegen wir 2000 in seine Primfaktoren und überlegen, auf wie viele Arten wir daraus einen geraden und einen ungeraden Faktor basteln können. 2000=24·53; die Faktoren 2 müssen immer zusammen vorkommen, sonst wären ja beide Teile gerade, die anderen können wir verteilen:

2000 = 16·125 = 80·25 = 400·5 = 2000·1

Das war's auch schon, mehr als diese Varianten gibt es nicht. Jetzt müssen wir nur noch feststellen, ob jedem Produkt auch eine Darstellung der Zahl 1000 entspricht, und wie diese jeweils aussieht.

Aufgezählt

Die Zahl der Summanden, die in der Formel mit n angegeben ist, kann also höchstens die Werte 1, 5, 16, 25, 80, 125, 400, 2000 annehmen. Die probieren wir jetzt der Reihe nach durch:
Ist n=1, dann folgt 2k+n+1=2000, also k=999. Das ist das, was die Mathematiker gerne als triviale Lösung bezeichnen: eine Möglichkeit, 1000 als Summe aufeinanderfolgender Zahlen zu schreiben, ist die einzige Zahl 1000 — eine Folge aus einer Zahl.

n=5 ist schon interessanter: 2k+n+1=400, also k=197, das heißt die Summe hat fünf Glieder und startet oberhalb von 197: 1000=198+199+200+201+202.

n=16 liefert 2k+n+1=125, also k=54. Damit ist 1000 = 55+56+…+69+70.

Aus n=25 folgt 2k+n+1=80 und k=27: 1000 = 28+29+…+52.

Dann haben wir noch n=80, also 2k+n+1=125, k=22: 1000 = 23+24+…+102.

Bei n=125 ist dann Schluß: dann wäre 2k+n+1=80, und diese Gleichung läßt sich durch kein positives k mehr erfüllen.

Zum Schluß

Auf eine Sache sollte ich noch eingehen: warum dürfen wir hier eigentlich ganz munter räsonieren und Teiler aufschreiben, nur um hinterher zu sagen: ätsch, 125 (und die größeren) waren nur ein Scherz? Wäre es nicht genauso möglich, daß unsere Methode nicht nur blinde Passagiere wie die 125 ausspuckt, sondern auch richtige Lösungen (meinetwegen n=17) verschluckt?

Nein, das geht zum Glück nicht: mathematische Argumente sind, wenn sie sauber verwendet werden, exakt. Daß wir trotzdem zunächst einige Zahlen bekommen haben, die wir dann doch wieder verwerfen mußten, liegt an dem Unterschied zwischen einer Folgerung und einer Äquivalenz: Wenn 1000 sich als die Summe der Zahlen k+1 bis k+n schreiben läßt, dann gelten die oben gemachten Überlegungen, und dann muß schließlich n ein Teiler von 2000 sein. Das heißt aber nicht, daß sich umgekehrt auch jede Zahl n, die Teiler von 2000 ist, automatisch in eine solche Summe verwandeln läßt. Dazu muß noch mehr gelten, n darf nämlich nicht nur irgendein Teiler von 2000 sein, sondern muß gerade komplementär zu 2k+n+1 sein. Wenn das nicht erfüllbar ist (z.B. für n=125), dann fallen die restlichen Überlegungen flach.

So, jetzt ist aber genug geschummelt.

[Edit: diverse Typos]

0:04 Kein Kommentar

von kirjoittaessani

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