kirjoittaessani

Anfang dieser Woche erschien auf Slashdot die Nachricht, daß ein dreidimensionales Äquivalent zur Mandelbrot-Menge, auch bekannt als Apfelmännchen, gefunden wurde. Ein Blick auf die Seite von Daniel White offenbarte nicht nur eine Erklärung, sondern auch atemberaubende Bilder -- und in mir erwachte sogleich der Wunsch, mich selbst daran zu versuchen.

Gebrochen

Die Klasse der Objekte, zu der das Apfelmännchen genauso wie der neue Mandelbulb gehören, nennt man Fraktale. Was bedeutet das eigentlich? Nun, in der Mathematik versteht man unter einem Fraktal ein Gebilde, dessen Dimension keine ganze Zahl ist. Es ist zunächst schwer vorstellbar, was das bedeuten soll: entweder habe ich etwas eindimensionales, etwa eine Linie; oder ein Blatt Papier, das (wenn wir seine Dicke einmal ignorieren) zweidimensional ist; oder aber zum Beispiel einen Würfel. Der hat drei Dimensionen -- aber zweieinhalb?

Wenn wir uns die Dimension eines Vektorraumes ansehen, ist das in der Tat nicht möglich: vereinfacht gesagt, zählt man schlicht die (voneinander unabhängigen) Richtungen, die es in einem Objekt gibt, und nennt diese die Dimension: wenn es nur Länge gibt (zum Beispiel bei einem Bindfaden), dann ist die Dimension Eins. Das Wohnzimmer hat Länge, Breite und Höhe, also die Dimension Drei.

Ich kann aber auch anders vorgehen: dazu nehme ich mir einen Ball, der groß genug ist, um den Bindfaden darunter zu verstecken. Ist der Faden z.B. einen Meter lang, dann brauche ich einen Ball, der einen Meter Durchmesser hat. Nun probiere ich es mit einem Ball von einem halben Meter -- und stelle fest, daß ich zwei davon brauche, um den Faden abzudecken. Hat mein Ball nur 10 cm Durchmesser (ein Zehntel des ursprünglichen), dann brauche ich auch zehn Bälle, und so weiter.

In meinem Wohnzimmer geht das nicht: während ich das komplette Zimmer in einen Ball mit fünf Metern Durchmesser stecken könnte, benötige ich wesentlich mehr als fünf Bälle, wenn diese nur einen Meter Durchmesser haben, nämlich mehr als hundert. Die Dimension eines Objekts sagt mir also, wie schnell die Zahl der nötigen Bälle wächst, wenn ich die Bälle selbst kleiner mache. Bei einem eindimensionalen Gegenstand reichen 2 Bälle der Größe 1/2, bei einem dreidimensionalen brauche ich 8, das sind 2³.

Jetzt drehen wir den Spieß um und erheben diese Ballzählerei zur Definition: das Schachbrett ist deshalb zweidimensional, weil ich 64=8² Felder der Größe 1/8 brauche, um es abzudecken.

Radieren

Wie muß nun ein Objekt aussehen, damit ich bei dieser Rechnung krumme Zahlen erhalte? Dazu wollen wir ein kleines Experiment machen. Dazu benötigen wir nur ein Blatt Papier, einen Bleistift, ein Radiergummi, und vielleicht noch ein Lineal. Zunächst zeichnen wir eine gerade Linie auf das Blatt, etwa so:

Nun nehmen wir das Radiergummi und entfernen das mittlere Drittel der Linie:

Von den beiden kürzeren Linien, die nun übrig bleiben, entfernen wir jeweils wieder das mittlere Drittel:

Und so weiter -- im Prinzip geht das beliebig lange, wenn nur unser Radiergummi fein genug ist:

Was passiert, wenn wir dieses Gebilde mit Bällen zudecken wollen? Nun, fangen wir mit einem Ball an, der gerade groß genug ist, um alle Teilstücke der Linie zu überdecken. Wenn wir diesen Ball dritteln, dann brauchen wir aber mitnichten drei der kleineren Bälle -- es genügen zweie, einer für die linke Seite, einer für die rechte. In der Mitte haben wir ja alles wegradiert. Wenn wir also einen Ball der Größe 1/3 wählen, brauchen wir 2=3^0.63 Exemplare davon. Deshalb können wir sagen, daß unser Kunstwerk die Dimension 0.63 hat. Genauer betrachtet, ist das auch gar nicht so abwegig: wir haben da eine Unmenge von Punkten, die sehr dicht beieinander liegen. Einzelne Punkte hätten die Dimension 0; und wenn sie unendlich dicht beieinander lägen, hätten wir eine Linie mit der Dimension 1. Daß unser Ergebnis irgendwo dazwischen liegt, ist nicht so verwunderlich.

Ganz ähnlich verhält es sich auch beim Apfelmännchen: egal, wie stark ich Ausschnitte davon vergrößere, es gibt immer feinere Strukturen zu entdecken. Das trifft im Prinzip auch auf die oben abgebildete Mandelbulb zu; allerdings ist die Abbildung mit einer sehr vereinfachten Formel erstellt worden, weshalb nur die gröbsten Knubbel zu erkennen sind -- ganz so, als ob ich beim Zerteilen der Linie nach zweimaligem Radieren aufhöre.

Demnächst in diesem Theater

In den kommenden Tagen möchte ich noch kurz anreißen, wie man das Apfelmännchen und die Mandelbulb berechnet; außerdem gibt es dann hoffentlich mehr Bilder und vielleicht sogar Filme zu sehen.

[Edit: Typos]

Was ich immer schonmal loswerden wollte: Skandinavien ist toll.

Heute in der Kategorie Spielen mit dem Essen: Der räuberische Diebstahl, § 252 StGB.

Drehbuch, Requisite, Casting und Regie: Eule und Werauchimmer.

Kamera und Schnitt: kirjoittaessani.

Als vor gut einer Woche der Abendhimmel einigermaßen klar war, beschloß ich, meine neue Kamera (und das Stativ) einmal etwas ausführlicher zu testen, als das beim ersten Mal möglich war.

Als Schwachpunkt erwies sich dabei wieder die Nachführung: bei der Ausrichtung auf den Nordpol mußte ich grob peilen, weil der Polsucher[1] noch nicht geliefert ist. Außerdem habe ich auf die Nachführmotoren noch verzichtet; stattdessen habe ich von Hand gedreht, was natürlich nicht sonderlich exakt ist. Ich werde mich demnächst wohl nochmal in Kosten stürzen und die Motoren nachrüsten.

Nach ein paar Versuchen klappte es aber schon besser, und bei dieser Aufnahme in Richtung Schwan und Cepheus sieht man auf den ersten Blick schon recht schön punktförmige Sterne. Das liegt natürlich auch an der etwas geringeren Belichtungszeit von zwei Minuten.

Zugegeben, an der ästhetischen Qualität mangelt es noch: für den visuellen Eindruck wäre der eine oder andere Nebel ganz nett. Aber mit die Detailtreue auf der Aufnahme bis ich sehr zufrieden: schaut man sich die Ausschnittsvergrößerung links an und vergleicht mit der Sternkarte, so stellt sich heraus, daß Sterne bis etwa zur achten oder neunten Ordnung noch sichtbar sind. Das sollte auch für viele Neben ausreichen, zumal man die Belichtungszeit durchaus noch verlängern könnte.

Als nächstes Projekt möchte ich die Milchstraße in Angriff nehmen. Dazu müßte allerdings der Himmel noch etwas dunkler sein; am besten nehme ich eine etwas längere Anfahrt in Kauf und begebe mich in einer der umliegenden Täler, in denen das Licht der Stadt nicht so stört. Dann muß ich nur noch auf eine wolkenfreie Nacht warten...

[1] Das ist ein Fernrohr mit Fadenkreuz, mit dem der Polarstern anvisiert wird.

Wenn ich mir Preise von damals im Vergleich zu den heutigen ansehe, muß ich manchmal ganz schön schlucken. Mein Taschenrechner ist allerdings der Meinung, daß das obige Beispiel einer jährlichen Inflation von gerade mal 2,6% entspricht -- was ich wiederum gar nicht erschreckend finde.

Auf besonderen Wunsch einer einzelnen Eule habe ich heute ein Bild von Maltas Südküste, genauer gesagt von der berühmten Blauen Grotte. Wenn dort morgens die Sonne im richtigen Winkel hineinscheint, entsteht durch das Meeresblau und die Färbung der Felsen ein ganz zauberhaftes Licht.

Jedenfalls sagt man das. Als wir dort waren, war das Wetter für die kleinen Ausflugsboote zu unruhig, und wir konnten nur von oben auf Wasser und Felsen schauen.

Weil Panorama-Aufnahmen bei gewissen Leuten so gut ankommen, gibt es hier mal etwas lokales. Zugegeben, besonders grandios ist es nicht, aber der Lauf dahin war eine nette Sontagsbeschäftigung.

Gestern abend habe ich die erste richtige Nachtaufnahme mit der neuen Kamera gemacht. Die Qualität ist -- verglichen mit der alten Kompaktkamera -- wirklich beeindruckend. Um echte Astrophotos machen zu können, fehlt noch ein bißchen Ausrüstung und auch etwas Übung: selbst bei einer Belichtungszeit von nur zweieinhalb Minuten hat sich der Große Wagen in eine Ansammlung von Strichen verwandelt.

Abhilfe schafft eine nachgeführte Kamera, die allerdings ein sauber ausgerichtetes Stativ voraussetzt. Mal sehen, was die nächsten Wochen ergeben.

Nachtaufnahmen mit langen Belichtungszeiten interessieren mich ja schon länger. Ein Hindernis war immer das recht starke Rauschen der kleinen Sensoren, die in Kompaktkameras zum Einsatz kommen: selbst nach aufwendiger Nachbearbeitung, in der mehrere Bilder übereinandergelegt werden, läßt die Qualität zu wünschen übrig.

Deswegen suche ich schon länger nach einer digitalen Spiegelreflexkamera -- die werden nämlich mit größeren Sensoren hergestellt, die dann auch wenger rauschen. Bislang hat mich der Preis immer abgehalten. Vor ein paar Tagen habe ich dann doch eine Gebrauchte ersteigert. Das witzige ist nämlich: Profikameras für Preise jenseits von tausend Euro sind sehr gut; will man aber nur eine einfache Spiegelrefex haben, so sind die älteren Modelle rauschärmer als die aktuellen, die mit Gewalt zehn Megapixel oder mehr auf dem CCD unterbringen wollen.

Normale, bei Tage aufgenommene Bilder sehen schon ziemlich gut aus. Heute habe ich die ersten Nachtaufnahmen gemacht -- und die sind wirklich recht vielversprechend. Das Exemplar oben ist zwar furchtbar unscharf, aber auch ohne Nachbearbeitung[1] kaum verrauscht, obwohl die Belichtungszeit mit gut 100 Sekunden um ein Vielfaches über den fünfzehn Sekunden liegt, die meine alte Kompaktkamera maximal zugelassen hat.

Mal sehen, was die nächste Zeit noch an Motiven bringt; und wenn es mal wieder eine klare Nacht gibt, sind vielleicht auch ein paar Sterne dabei.

[1]Ausgenommen das übliche Rotieren und Beschnitt; außerdem habe ich die Helligkeit etwas angehoben.

Heute gibt es einen Ausblick nach Süden: die Dingly Cliffs sind Maltas höchste Erhebung. Da fällt mir ein: Sommerwetter ohne einen Hauch von Schwüle hat auch so seine Vorteile...