kirjoittaessani

Heute morgen semi-ausgeschlafen, dann die Eule von der Arbeit abgeholt. Auf dem Rückweg haben wir festgestellt, daß Runewars noch nicht verfügbar ist; dafür haben wir aber ein bißchen im Teeladen gestöbert. Und im Buchladen, aber das ist ja selbstverständlich 🙂

Wieder zu Hause stand der Besuch auch schon vor der Tür. Also erstmal Brunch, und dann --

eigentlich hatten wir uns ja auf Runewars gefreut, aber das hat die hither shore ja noch nicht erreicht; also war nach längerer Zeit wieder ein Ausflug zu den Old Ones angesagt.

Das hat Spaß gemacht, obwohl wir (und ganz Arkham) am Schluß leider einem Erdbeben zum Opfer gefallen sind. Eine Lawine erschiene mir gerade allerdings realistischer...

Hinterher haben wir Ally noch einen kurzen Besuch abgestattet.

So, und bevor ich hier über der Tastatur einschlafen, werde ich mich mal ins Bett begeben.

Heute sind auch die kleineren Straßen schon fast wieder schneefrei, aber die letzten Tage war es so glatt, daß ich das Fahrrad zu Hause gelassen habe und lieber zu Fuß ins Institut gegangen bin. Das hat den Vorteil, daß ich Gelegenheit zum Fotografieren habe.

Und wenn mir dann eine Stelle besonders gut gefällt, wie diese hier im forstbotanischen Garten, dann mache ich am nächsten Tag noch ein paar Bilder mehr.

Heute gibt es mal wieder ein neues Eckchen (das untere rechte nämlich) in der Reihe des Mandelbulb-Mosaiks. Inzwischen sind die wesentlichen Teile beisammen, und man könnte sich langsam Gedanken über den nächsten Schritt machen, etwa näher heranzugehen. Eine noch höhere Ordnung ist ohne Software-Optimierung wohl nicht sinnvoll.

Diesmal hat es wieder ein bißchen länger gedauert, deshalb gibt es auch ein größeres Stück: die rechte obere Ecke ist fertig -- jedenfalls so weit das Fraktal reich; den Hintergrund reiche ich irgendwann noch nach.

Los ging's übrigens hier, und die ganze Serie findet man per Tag.

Heute habe ich nur eine kleine Briefmarke im oberen Bereich gerechnet, aber dafür ging's auch recht schnell.

Heute ist das Puzzle ein kleines Stückchen weiter.

Auf den Bergen ist es kühler als im Tal -- das weiß eigentlich jeder. Der Physikus mag sich zunächst fragen, wieso eigentlich: immerhin steigt warme Luft ja nach oben. Dann aber fällt ihm die adiabatische Expansion ein, und schon passen Theorie und Empirie wieder zusammen.

Hierzulande -- das heißt, ziemlich genau in der Mitte Deutschlands -- hält sich das mit den Bergen allerdings sehr in Grenzen. Der Brocken ist zwei Tagesmärsche weg und würde mit seinen gut 1100 Metern in den Alpen doch eher untergehen. Die stadtnahen Wälder liegen deutlich niedriger. Heute war ich doch sehr überrascht, daß bloße zweihundert Meter Höhendifferenz den entscheidenden Unterschied zwischen nassen Straßen und Eisglätte ausmachen können.

Vor einiger Zeit hatte ich angekündigt, für ein neues Bild der Mandelbulb eine weitere Iterationsstufe zu berechnen. Leider hat sich PoV-Ray dabei als noch langsamer als befürchtet erwiesen. Damit ich nicht völlig allein meinem Rechner beim Rechnen zusehen muß, gibt es hier eine Vorschau mit drei Iterationsschritten -- nach gut einer Woche kann man schonmal ein bißchen sehen, wie das aussehen wird, wenn es fertig ist. Damit das Bild richtig wirkt, sollte man es sich in groß ansehen.

Zugegeben, ein paar Schritte mehr könnten nicht schaden, die Details auf den Bildern von Daniel White sind (bei zehn Schritten) viel feiner.

Und wieder ein Jahr später...

Das erste Päckchen (das runde etwas links von der Mitte) ist schon offen. Und ich kann kaum den Morgen erwarten ...

Neulich hatte ich mehr zu Mandelbulb, einem dreidimensionalen Fraktal aus der Verwandtschaft des Apfelmännchens versprochen. Jetzt ist -- nach mehreren Tagen Rechenzeit auf einer Zweiprozessormaschine -- endlich der erste Film fertig.

Doch zunächst möchte ich etwas über Folgen erzählen. Folgen sind, nun ja: einfach Aneinanderreihungen von Zahlen; dabei soll das Aneinanderreihen natürlich gewissen Regeln folgen.

Versuchen wir zum Beispiel, eine Zahl immer wieder zu quadrieren: 2, 4, 16, 256, 32768, ...  -- dann bekommen wir ziemlich schnell ziemlich große Zahlen. Das muß aber nicht so sein -- fangen wir doch einfach mit einer kleineren Zahl an, zum Beispiel so: 1, 1, 1, ... -- zugegeben, das ist etwas langweilig: 1²=1, da ist wenig Abwechslung. Vielleicht besser so: 0.1, 0.01, 0.0001, ... -- jetzt wird die Folge sogar immer kleiner. Also: wenn wir auf diese Weise eine Zahl kleiner als Eins fortlaufen quadrieren, so werden die Zahlen immer kleiner; Zahlen größer als Eins werden immer größer, und die Eins selbst bleibt gleich. Daran ändert sich übrigens nicht viel, wenn wir auch negative Anfangswerte zulassen -- das Minuszeichen fällt im ersten Schritt weg, und dann geht es weiter wie bekannt. Wenn wir uns also den Zahlenstrahl aus der Schule aufmalen, dann könnte das etwa so aussehen:

Alles, was zwischen -1 und +1 liegt, bleibt endlich; alle anderen Zahlen werden durch das Quadrieren immer größer. Wir könnten jetzt unsere Rechenvorschrift (das Quadrieren) komplizierter machen, aber lustige Bilder werden wir auf diese Weise nicht erhalten: der Zahlenstrahl ist ja nur eine einzige Linie, was kann man daraus schon groß machen? Schöner wäre es, wenn wir eine Fläche hätten, etwa so:

Nur: wie verteilen wir unsere Zahlen darauf? Das ist in der Mathematik zum Glück kein Problem: wir denken uns einfach neue Zahlen aus, so daß wir nicht nur links von der Eins die Null und rechts die Zwei haben, sondern auch über und unter der Eins noch Zahlen hinschreiben können. Jetzt müssen wir nur noch überlegen, wie wir diese Zahlen quadrieren können, und das machen wir so:

Wir denken unz zu jeder Zahl eine Art Uhrzeiger. Wenn wir die Zahl quadrieren wollen, dann quadrieren wir zuerst einfach seine Länge. Außerdem drehen wir den Zeiger ein Stück weiter: aus ein Uhr wird zwei Uhr, aus drei Uhr wird sechs Uhr, und aus vier Uhr wird acht Uhr. Bevor jetzt jemand fragt: bei den Mathematikern gehen die Uhren linksherum; und in diesem speziellen Fall fängt man auch gerne rechts statt oben an mit null Uhr.

Diese Definition mag ein bißchen seltsam wirken, aber sie hat einen großen Vorteil: wenn wir uns Zahlen auf dem guten alten Zahlenstrahl ansehen, dann liegen die ja auf null Uhr (die positiven) oder auf sechs Uhr (die negativen); und wenn wir die jetzt nach der neuen Regel quadrieren, dann drehen wir die positiven gar nicht (sie stehen ja, wie gesagt, auf null Uhr), und die negativen von sechs auf zwölf Uhr -- oder eben wieder null. Also: nach dem Quadrieren landen alle Zahlen vom Zahlenstrahl wieder auf der positiven Hälfte des Strahls, und weil wir ja die Zeigerlängen außerdem quadrieren, erhalten wir das selbe Ergebnis wie bei der Rechnung nach Schulregeln.

Jetzt gehen wir nochmals zu den Folgen zurück und quadrieren munter drauflos. Das Ergebnis ist recht einleuchtend: unsere Zeigerzahlen drehen sich wild im Kreis, aber alle Zeiger länger als Eins wachsen ins unermeßliche, während die kürzeren ins Nichts schrumpfen.

Damit haben wir immerhin ein kleines Bild, wenn auch kein besonders aufregendes: einen Kreis mit dem Radius eins nämlich, der alle die Zahlen bezeichnet, die beim Quadrieren immer weiter schrumpfen.

Es mag einleuchten, daß man mit einer komplizierteren Rechenvorschrift auch komplexere Bilder erzeugen kann. Wer jetzt aber glaubt, daß man eine die Regel sehr viel komplizierter machen muß, der hat sich getäuscht: wie wäre es zum Beispiel, wenn wir unsere Zahl immer abwechselnd quadrieren und addieren? Das ginge dann so: 1²=1, 1+1=2, 2²=4, 4+1=5, 5²=25; also: 1, 2, 4, 5, 25, ... und die Zahlen werden immer größer. Bei den negativen gibt es aber eine kleine Überraschung: -2²=4, 4+(-2)=2, 2²=4, 4+(-2)=2... hier kommen wir über die Zwei nicht hinaus! Wir werden also, wenn wir wieder alle konvergenten Folgen (also die, die endlich bleiben) schwarz anmalen, keinen Kreis erhalten: die +1 müßte ja weiß bleiben, die -2 hingegen wäre schwarz. Ein Oval vielleicht? Es ist auf Anhieb nicht klar, was mit unseren Uhrenzahlen[1] passieren würde, und so hilft es nur, den Computer zuhilfe zu nehmen und das Bild auszurechnen -- und dann passiert das:

Ich finde es überraschend und sehr erstaunlich, daß aus einer so einfachen Formel ein so komplexes Gebilde entsteht, und gerade diese Einfachheit macht für mich einen Großteil der Schönheit des Apfelmännchens aus: bekommt man doch soviel mehr heraus, als man hineingesteckt hat.

Zu guter Letzt möchte ich noch meinen Film von der dreidimensionalen Variante zeigen. Wie man hier rechnet, erkläre ich aber erst im nächsten Blogeintrag. Wenn das Fraktal hier recht glatt erscheint (während doch das zweidimensionale Apfelmännchen arg pieksig wirkt), so liegt das nicht in der Natur der Sache; vielmehr habe ich, um überhaupt in sinnvoller Zeit zu einem Ergebnis zu kommen, nur die ersten zwei Schritte der Folgen berechnet. Um ein realistischeres Bild zu erhalten, hätte ich zehn Schritte rechnen müssen. Und an der pixeligen Struktur arbeite ich auch noch...

[1]Der aufmerksame Leser mag bemerken, daß wir oben zwar das Quadrieren, nicht aber die Addition der Uhrenzahlen definiert haben. Letztere ist aber recht einfach: um zwei Zeiger zu addieren, verschieben wir einen von ihnen so, daß sein Fußpunkt an der Spitze des anderen zu liegen kommt; seine Richtung soll er dabei nicht verändern. Die Summe der beiden ist dann ein neuer Zeiger, der vom Fußpunkt des unverschobenen zur Spitze des verschobenen Zeigers geht. Wer mit dem Konzept der Vektorrechnung vertraut ist, wird hier die Vektoraddition erkennen[2].

[2]Und wer mit dem Konzept der komplexen Zahlen vertraut ist, wird diese in unseren Uhrenzahlen erkennen.