Heute möchte ich mich mit einem Thema beschäftigen, das bei den meisten Menschen kein gutes Ansehen genießt: Mathematik. (Halt! Nicht wegklicken!)
Dabei soll es nicht um lustige Zahlenspielereien oder nützliche Rechenregeln gehen; vielmehr geht es mir um die Schönheit, die mathematische Aussagen und Beweise an den Tag legen, wenn man sie nicht als Mittel, sondern als Zweck betrachtet.
Die Idee dabei ist, einzelne Themen herauszugreifen und (hoffentlich) auch für Mathematik-Abstinenzler verständlich darzustellen.

Zu Anfang soll es um Primzahlen gehen. Die haben viele Vorteile: die meisten Menschen wissen, was Primzahlen sind; sie haben keine direkte Anwendung außerhalb der Mathematik (so daß man nicht so leicht abgelenkt wird); und man kann viele lustige Dinge mit ihnen anstellen.

Wenn der Mathematiker einen neuen Begriff einführt, dann tut er das mit einer Definition, die genau sagt, wie der Begriff zu verstehen ist. Primzahlen sind bekanntlich Zahlen, die nur durch Eins und sich selbst teilbar sind. Etwas genauer kann man definieren:
Eine natürliche Zahl n, deren Teilermenge genau zwei Elemente enthält, heißt Primzahl.
Daraus folgt, daß die Eins keine Primzahl ist, denn ihre Teilermenge enthält nur ein Element. Die umgangssprachliche Formulierung nur durch Eins und sich selbst teilbar ist da etwas unklar, was später zu Verwirrung führen könnte.

Welche konkreten Zahlen sind denn nun prim? Die ersten sind schnell aufgezählt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Und wie geht es weiter? Vor allem: ist irgendwann Schluß, oder gibt es unendlich viele Primzahlen? Einerseits ist nicht recht einzusehen, warum es unendlich viele natürliche Zahlen, aber nur endlich viele Primzahlen geben soll; andererseits ist unsere Unfähigkeit, uns eine Welt mit endlich vielen Primzahlen vorzustellen, ein ziemlich schwaches Argument. Es muß also ein Beweis her. Vorher formulieren wir noch schnell einen Satz, der die zu beweisende Aussage formuliert:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Eine häufig verwandte Methode ist die des Beweises durch Widerspruch: man nimmt einfach das Gegenteil der Behauptung an und leitet daraus einen Widerspruch her. Wenn die Schlußfolgerungen alle einwandfrei sein, muß die ursprüngliche Annahme falsch sein — und damit die Behauptung wahr.
Wir nehmen also an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, sagen wir n Stück. Diese numerieren wir durch: p1, p2, ..., pn. Betrachten wir nun die Zahl x, die um eins größer als das Produkt aller Primzahlen ist: x=p1p2...pn+1. Jede Zahl besitzt einen Primteiler, also auch x — das ist aber ein Widerspruch, denn p1p2...pn ist ja per Konstruktion durch alle Primzahlen teilbar; zwei aufeinanderfolgende Zahlen haben aber keine gemeinsamen Teiler (außer 1).
[Das sieht man so: wenn n und n+1 beide durch p teilbar sind, dann gibt es x und y, so daß n=xp und n+1=yp, also xp+1=yp. Damit ist aber (y–x)p=1, also auch Eins durch p teilbar => Widerspruch, denn Eins besitzt (außer sich selbst) keine Teiler.]

Die Annahme, es gebe nur endlich viele Primzahlen, führt also auf einen Widerspruch, so daß es unendlich viele Primzahlen geben muß, q.e.d.

2:17 Kein Kommentar

von kirjoittaessani

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